Question

【題目】已知橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為，離心率為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線的斜率為，直線與橢圓C交于兩點(diǎn)．點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，求的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2

【解析】

試題分析：（1）由橢圓定義，橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為常數(shù)，又因?yàn)?/span>，從而求得即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)的方程為，把其與橢圓的方程聯(lián)立，求出弦長(zhǎng)為△PAB的底，由點(diǎn)線距離公式求出△PAB的高，，表示出三角形的面積，然后用基本不等式求最值即可

試題解析：（1）由條件得：，解得，所以橢圓的方程為

（2）設(shè)的方程為，點(diǎn)

由消去得．

令，解得，由韋達(dá)定理得．

則由弦長(zhǎng)公式得．

又點(diǎn)P到直線的距離，

∴，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最大值．∴△PAB面積的最大值為2．