Question

【題目】對于定義域為D的函數y=f（x），如果存在區間[m，n]D，同時滿足： ①f（x）在[m，n]內是單調函數；
②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．
則稱[m，n]是該函數的“和諧區間”．
（1）證明：[0，1]是函數y=f（x）=x2的一個“和諧區間”．
（2）求證：函數 不存在“和諧區間”．
（3）已知：函數 （a∈R，a≠0）有“和諧區間”[m，n]，當a變化時，求出n﹣m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=x2在區間[0，1]上單調遞增．

又f（0）=0，f（1）=1，

∴值域為[0，1]，

∴區間[0，1]是y=f（x）=x2的一個“和諧區間”

（2）解：設[m，n]是已知函數定義域的子集．

∵x≠0，[m，n]（﹣∞，0）或[m，n]（0，+∞），

故函數 在[m，n]上單調遞增．

若[m，n]是已知函數的“和諧區間”，則

故m、n是方程 的同號的相異實數根．

∵x2﹣3x+5=0無實數根，

∴函數 不存在“和諧區間”．

（3）解：設[m，n]是已知函數定義域的子集．

∵x≠0，[m，n]（﹣∞，0）或[m，n]（0，+∞），

故函數 在[m，n]上單調遞增．

若[m，n]是已知函數的“和諧區間”，則

故m、n是方程 ，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同號的相異實數根．

∵ ，

∴m，n同號，只須△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，即a＞1或a＜﹣3時，

已知函數有“和諧區間”[m，n]，

∵ ，

∴當a=3時，n﹣m取最大值

【解析】（1）根據二次函數的性質，我們可以得出y=f（x）=x2在區間[0，1]上單調遞增，且值域也為[0，1]滿足“和諧區間”的定義，即可得到結論．（2）該問題是一個確定性問題，從正面證明有一定的難度，故可采用反證法來進行證明，即先假設區間[m，n]為函數的“和諧區間”，然后根據函數的性質得到矛盾，進而得到假設不成立，原命題成立．（3）設[m，n]是已知函數定義域的子集，我們可以用a表示出n﹣m的取值，轉化為二次函數的最值問題后，根據二次函數的性質，可以得到答案．