Question

【題目】已知數列{an}滿足對任意的n∈N* ， 都有a13+a23++an3=（a1+a2++an）2且an＞0．
（1）求a1 ， a2的值；
（2）求數列{an}的通項公式；
（3）若bn= ，記Sn= ，如果Sn＜ 對任意的n∈N*恒成立，求正整數m的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時，有a13=a12，

由于an＞0，所以a1=1．

當n=2時，有a13+a23=（a1+a2）2，

將a1=1代入上式，可得a22﹣a2﹣2=0，

由于an＞0，所以a2=2．

（2）解：由于a13+a23++an3=（a1+a2++an）2，①

則有a13+a23++an3+an+13=（a1+a2++an+an+1）2．②

②﹣①，得an+13=（a1+a2++an+an+1）2﹣（a1+a2++an）2，

由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2++an）+an+1．③

同樣有an2=2（a1+a2++an﹣1）+an（n≥2），④

③﹣④，得an+12﹣an2=an+1+an．

所以an+1﹣an=1．

由于a2﹣a1=1，即當n≥1時都有an+1﹣an=1，

所以數列{an}是首項為1，公差為1的等差數列．

故an=n．

（3）解：bn= = =2[ ﹣ ]，

則Sn=2[ ﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ ++ ﹣ + ﹣ ]

=2[ + ﹣ ﹣ ]＜2× = ，

Sn＜ 對任意的n∈N*恒成立，可得 ≥ ，

即有m≥ ，

可得正整數m的最小值為4．

【解析】（1）由題設條件知a1=1．當n=2時，有a13+a23=（a1+a2）2，由此可知a2=2．（2）由題意知，an+13=（a1+a2++an+an+1）2﹣（a1+a2++an）2，由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2++an）+an+1．同樣有an2=2（a1+a2++an﹣1）+an（n≥2），由此得an+12﹣an2=an+1+an．所以an+1﹣an=1．所以數列{an}是首項為1，公差為1的等差數列，由通項公式即可得到所求．（3）求得bn= = =2[ ﹣ ]，運用數列的求和方法：裂項相消求和，可得Sn，結合不等式的性質，恒成立思想可得m≥ ，進而得到所求最小值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)．