Question

【題目】當n為正整數時，函數N（n）表示n的最大奇因數，如N（3）=3，N（10）=5，…，設Sn=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（2n﹣1）+N（2n），則Sn= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由N（x）的性質可得知，當x是奇數時，x的最大奇數因子明顯是它本身．因此N（x）=x，當x是偶數時，參看下面的討論， 因此由這樣一個性質，我們就可將Sn進行分解，分別算出奇數項的和與偶數項的和進而相加，即Sn=S奇+S偶 ，
∴S奇=N（1）+N（3）+…+N（2n﹣1）=1+3+…2n﹣1= =4n﹣1
當x是偶數時，且x∈[2k ， 2k+1）①當k=1時，x∈[2，4）該區間包含的偶數只有2，而N（2）=1所以該區間所有的偶數的最大奇因數之和為T1=1
②當k=2時，x∈[4，8），該區間包含的偶數為4，6，所以該區間所有的最大奇因數偶數之和為T2=1+3=4
③當k=3時，x∈[8，16），該區間包含的偶數為8，10，12，14，則該區間所有偶數的最大奇因數之和為T3=1+3+5+7=16，因此我們可以用數學歸納法得出當x∈[2k ， 2k+1）該區間所有偶數的最大奇因數和Tk=4k﹣1 ．
∴對k從1到n﹣1求和得T1+T2+…+Tn﹣1=
∴S偶=T1+T2+…+Tn﹣1+N（2n）=
綜上可知Sn=S奇+S偶=4n﹣1+ =
所以答案是
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系即可以解答此題．