Question

【題目】已知數列{an}前n項和為Sn ．
（1）若Sn=2n﹣1，求數列{an}的通項公式；
（2）若a1= ，Sn=anan+1 ， an≠0，求數列{an}的通項公式；
（3）設無窮數列{an}是各項都為正數的等差數列，是否存在無窮等比數列{bn}，使得an+1=anbn恒成立？若存在，求出所有滿足條件的數列{bn}的通項公式；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：n=1時，a1=S1=2﹣1=1，

當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，

上式對n=1也成立．

綜上可得數列{an}的通項公式為an=2n﹣1；

（2）解：a1= ，Sn=anan+1，an≠0，

可得a1=a1a2，a1≠0，可得a2=1，

當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=anan+1﹣an﹣1an，

即有an+1﹣an﹣1=1，

即有數列{an}中奇數項和偶數項分別構成公差為1的等差數列，

可得a2n﹣1= +n﹣1= ，a2n=1+n﹣1=n= ，

故數列{an}的通項公式為an= ；

（3）解：設an=c+dn，假設存在無窮等比數列{bn}，使得an+1=anbn恒成立．

設數列{bn}的公比為q，則bn+1=qbn，

即有 =q ，

即an+2an=qan+12，

則（dn+2d+c）（dn+c）=q（dn+d+c）2對一切n為自然數成立．

即（d2﹣qd2）n2+2（1﹣q）d（c+d）n+c（2d+c）﹣q（d+c）2=0對n∈N*成立．

取n=1，2，3可得（d2﹣qd2）+2（1﹣q）d（c+d）+c（2d+c）﹣q（d+c）2=0①

4（d2﹣qd2）+4（1﹣q）d（c+d）+c（2d+c）﹣q（d+c）2=0②

9（d2﹣qd2）+6（1﹣q）d（c+d）+c（2d+c）﹣q（d+c）2=0③

由恒成立思想可得d2﹣qd2=0，（1﹣q）d（c+d）=0，c（2d+c）﹣q（d+c）2=0，

當d=0時，an=c＞0，所以bn=1（n∈N*），檢驗滿足要求；

當d≠0，q=1，所以c（2d+c）﹣q（d+c）2=0，則d=0，矛盾．

綜上可得，當等差數列{an}的公差d=0，存在無窮等比數列{bn}，

使得an+1=anbn恒成立，且bn=1；

當等差數列{an}的公差d≠0，不存在無窮等比數列{bn}，

使得an+1=anbn恒成立．

【解析】（1）由數列的遞推式：n=1時，a1=S1，當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1，計算即可得到所求通項公式；（2）求出a1=a1a2，a1≠0，可得a2=1，當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=anan+1﹣an﹣1an，即有an+1﹣an﹣1=1，即有數列{an}中奇數項和偶數項分別構成公差為1的等差數列，運用等差數列的通項公式即可得到所求通項；（3）設an=c+dn，假設存在無窮等比數列{bn}，使得an+1=anbn恒成立．設數列{bn}的公比為q，則bn+1=qbn，

即有 =q ，則（dn+2d+c）（dn+c）=q（dn+d+c）2對一切n為自然數成立．展開等式，取n=1，2，3，再由恒成立思想，可得d，q的值，解方程即可判斷存在性．