Question

【題目】如圖，有一直徑為8米的半圓形空地，現計劃種植果樹，但需要有輔助光照．半圓周上的C處恰有一可旋轉光源滿足果樹生長的需要，該光源照射范圍是 ，點E，F在直徑AB上，且 ．
（1）若 ，求AE的長；
（2）設∠ACE=α，求該空地種植果樹的最大面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得△ABC為直角三角形，因為AB=8， ，

所以 ，AC=4，

在△ACE中，由余弦定理：CE2=AC2+AE2﹣2ACAEcosA，且 ，

所以13=16+AE2﹣4AE，

解得AE=1或AE=3

（2）解：因為 ， ，

所以∠ACE=α ，

所以 ，

在△ACF中由正弦定理得： ，

所以 ，

在△ACE中，由正弦定理得： ，

所以 ，

由于： ，

因為 ，所以 ，所以 ，

所以當 時，S△ECF取最大值為

【解析】（1）由已知利用余弦定理，即可求AE的長；（2）設∠ACE=α，求出CF，CE，利用三角形面積公式可求S△CEF ， 求出最大值，即可求該空地產生最大經濟價值時種植甲種水果的面積．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正弦定理的定義的相關知識，掌握正弦定理:，以及對余弦定理的定義的理解，了解余弦定理:;;．