Question

【題目】某投資商到一開發區投資72萬元建起一座蔬菜加工廠，第一年共支出12萬元，以后每年支出增加4萬元，從第一年起每年蔬菜銷售收入50萬元．設f（n）表示前n年的純利潤總和（f（n）=前n年的總收入﹣前n年的總支出﹣投資額）．
（1）該廠從第幾年開始盈利？
（2）若干年后，投資商為開發新項目，對該廠有兩種處理方法：①年平均純利潤達到最大時，以48萬元出售該廠；②純利潤總和達到最大時，以16萬元出售該廠，問哪種方案更合算？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，第一年共支出12萬元，以后每年支出增加4萬元，可知每年的支出構成一個等差數列，用g（n）表示前n年的總支出，

∴g（n）=12n+ ×4=2n2+10n（n∈N*）

∵f（n）=前n年的總收入﹣前n年的總支出﹣投資額

∴f（n）=50n﹣（2n2+10n）﹣72=﹣2n2+40n﹣72．

由f（n）＞0，即﹣2n2+40n﹣72＞0，解得2＜n＜18

由n∈N*知，從第三年開始盈利．

（2）解：方案①：年平均純利潤為 =40﹣2（n+ ）≤16，

當且僅當n=6時等號成立．

故方案①共獲利6×16+48=144（萬元），此時n=6．

方案②：f（n）=﹣2（n﹣10）2+128．

當n=10時，[f（n）]max=128．

故方案②共獲利128+16=144（萬元）．

比較兩種方案，獲利都是144萬元，但由于方案①只需6年，而方案②需10年，故選擇方案①更合算

【解析】（1）根據第一年共支出12萬元，以后每年支出增加4萬元，可知每年的支出構成一個等差數列，故n年的總支出函數關系可用數列的求和公式得到；再根據f（n）=前n年的總收入﹣前n年的總支出﹣投資額，可得前n年的純利潤總和f（n）關于n的函數關系式；令f（n）＞0，并解不等式，即可求得該廠從第幾年開始盈利；（2）對兩種決策進行具體的比較，以數據來確定那一種方案較好．