Question

【題目】設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bcosA= asinB．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，∵ asinB=bcosA．

由正弦定理，得： sinAsinB=sinBcosA，

∵0＜B＜π，sinB≠0．

∴ sinA=cosA，即tanA= ．

∵0＜A＜π，

∴A= ．

（2）解：∵由a=1，A= ，

∴由余弦定理，1=b2+c2﹣ bc≥2bc﹣ bc，得：bc≤2 ，當且僅當b=c等號成立，

∴△ABC的面積S= bcsinA≤ （2+ ）× = ，即△ABC面積的最大值為 ．

【解析】（1）根據正弦定理化簡可得 sinAsinB=sinBcosA，結合sinB≠0，可求tanA，由范圍0＜A＜π，可求A的值．（2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求bc≤2 ，進而利用三角形面積公式即可計算得解．
【考點精析】通過靈活運用正弦定理的定義，掌握正弦定理:即可以解答此題．