Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線y=x2﹣6x+1與坐標軸的交點都在圓C上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C與直線x﹣y+a=0交與A，B兩點，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）法一：曲線y=x2﹣6x+1與y軸的交點為（0，1），與x軸的交點為（3+2 ，0），（3﹣2 ，0）．可知圓心在直線x=3上，故可設該圓的圓心C為（3，t），則有32+（t﹣1）2=（2 ）2+t2 ， 解得t=1，故圓C的半徑為 ，所以圓C的方程為（x﹣3）2+（y﹣1）2=9． 法二：圓x2+y2+Dx+Ey+F=0
x=0，y=1有1+E+F=0
y=0，x2 ﹣6x+1=0與x2+Dx+F=0是同一方程，故有D=﹣6，F=1，E=﹣2，
即圓方程為x2+y2﹣6x﹣2y+1=0
（Ⅱ）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），其坐標滿足方程組
，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，由已知可得判別式△=56﹣16a﹣4a2＞0．
在此條件下利用根與系數的關系得到x1+x2=4﹣a，x1x2= ①，
由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，又y1=x1+a，y2=x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②
由①②可得a=﹣1，滿足△=56﹣16a﹣4a2＞0．故a=﹣1
【解析】（Ⅰ）法一：寫出曲線與坐標軸的交點坐標，利用圓心的幾何特征設出圓心坐標，構造關于圓心坐標的方程，通過解方程確定出圓心坐標，進而算出半徑，寫出圓的方程； 法二：可設出圓的一般式方程，利用曲線與方程的對應關系，根據同一性直接求出參數，（Ⅱ）利用設而不求思想設出圓C與直線x﹣y+a=0的交點A，B坐標，通過OA⊥OB建立坐標之間的關系，結合韋達定理尋找關于a的方程，通過解方程確定出a的值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解圓的標準方程(圓的標準方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程)．