Question

【題目】已知三棱柱的側面是菱形，.

（1） 求證：；

（2）若，，，求的值，使得 二面角的余弦值的為 .

Answer 1

【答案】(1)證明見解析.

(2)2.

【解析】

分析：（1）由題意結合幾何關系可證得面，則.

（2）以為坐標原點，所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系,設，計算可得平面和平面的一個法向量分別為，，結合空間向量的結論計算可得的長為.

詳解：

（1）因為側面是菱形，所以，

又，，

所以與全等，

所以；

設和交于，則為和的中點，連接，

所以.

又，交于，

所以面；

因為面，所以.

（2）因為，所以，

以為坐標原點，所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標系.

因為，所以

設，則；

，

設和分別是平面和平面的法向量，

則

不妨令，則，即

，

不妨令，則，即.

令，即，得或，

所以或（舍），

即的長為.