Question

【題目】已知正數數列{an}的前n項和為Sn，滿足 ，.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）設，若是遞增數列，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）an=n；（2）（-1，+∞）．

【解析】

（1）由 an2＝Sn+Sn﹣1（n≥2），可得an﹣12＝Sn﹣1+Sn﹣2 （n≥3）．兩式相減可得 an﹣an﹣1＝1，再由a1＝1，可得{an}通項公式．（2）根據{an}通項公式化簡bn和bn+1，由題意得bn+1﹣bn＞0恒成立，分離變量即可得a的范圍．

解：（1），=Sn-1+Sn-2，（n≥3）．

相減可得：，∵an＞0，an-1＞0，∴an-an-1=1，（n≥3）．

n=2時，=a1+a2+a1，∴=2+a2，a2＞0，∴a2=2．因此n=2時，an-an-1=1成立．

∴數列{an}是等差數列，公差為1．∴an=1+n-1=n．

（2）=（n-1）2+a（n-1），

∵{bn}是遞增數列，∴bn+1-bn=n2+an-（n-1）2-a（n-1）=2n+a-1＞0，

即a＞1-2n恒成立，∴a＞-1．

∴實數a的取值范圍是（-1，+∞）．