Question

【題目】已知函數為實數)的圖像在點處的切線方程為.

（1）求實數的值及函數的單調區間；

（2）設函數，證明時， .

Answer 1

【答案】（1）函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為;（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）由導數幾何意義得，又,解方程組可得.再求導函數零點，根據導函數符號變化規律確定函數單調區間，（2）先化簡條件得，再等價轉化不等式：要證，需證，即證，最后構造函數，其中，利用導數研究函數單調性： 在區間內單調遞增，即得,從而結論得證.

試題解析：（1）由題得，函數的定義域為， ，

因為曲線在點處的切線方程為，

所以解得.

令，得，

當時， ， 在區間內單調遞減；

當時， ， 在區間內單調遞增.

所以函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

（2）由（1）得， .

由，得，即.

要證，需證，即證，

設，則要證，等價于證： .

令，則，

∴在區間內單調遞增， ,

即，故.