Question

【題目】已知{an}是等差數列，設數列{bn}的前n項和為Sn，且2bn＝b1（1+Sn），bn≠0，又a2b2＝4，a7+b3＝11．

（1）求{an}和{bn}的通項公式；

（2）令cn＝anbn（n∈N*），求{cn}的前n項和Tn

Answer 1

【答案】（1）an＝n；bn＝2n﹣1（2）Tn＝（n﹣1）2n+1

【解析】

（1）運用數列的遞推式，以及等比數列的通項公式可得bn，{an}是公差為的等差數列，運用等差數列的通項公式可得首項和公差，可得所求通項公式；
（2）求得，由數列的錯位相減法求和，結合等比數列的求和公式，即可得到所求和．

（1）2bn＝b1（1+Sn），bn≠0，

n＝1時，2b1＝b1（1+S1）＝b1（1+b1），解得b1＝1，

n≥2時，2bn﹣1＝1+Sn﹣1，且2bn＝1+Sn，

相減可得2bn﹣2bn﹣1＝Sn﹣Sn﹣1＝bn，

即bn＝2bn﹣1，

可得bn＝2n﹣1，

設{an}是公差為d的等差數列，

a2b2＝4，a7+b3＝11即為a1+d＝2，a1+6d＝7，

解得a1＝d＝1，可得an＝n；

（2）cn＝anbn＝n2n﹣1，

前n項和，

，

兩式相減可得﹣Tn＝1+2+4+…+2n﹣1﹣n2n

n2n，

化簡可得Tn＝（n﹣1）2n+1．