Question

【題目】如圖，設為拋物線上不同的四點，且點關于軸對稱，平行于該拋物線在點處的切線.

（1）求證：直線與直線的傾斜角互補；

（2）若，且的面積為16，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）設，則由導數的幾何意義可得，于是可設直線的方程為，代入拋物線方程得到關于x的一元二次方程，然后根據斜率公式和根與系數的關系證得，即證得直線與直線的傾斜角互補．（2）由可得，由斜率公式可得，然后由弦長公式得，，再根據的面積為16得，，從而可得直線的方程．

詳解：（1）設，

則．

設直線的方程為，

由消去y整理得，

因為直線與拋物線交于兩點，

所以．

設，

則．

因為，

所以直線與直線的傾斜角互補．

（2）因為，

所以，

即，．

所以，

則，，

所以，

解得，

所以，

故，

解得．

所以當時，直線的方程為．