Question

【題目】函數f（x）=a+ 為定義在R上的奇函數．
（1）求a的值；
（2）判斷函數f（x）在（﹣∞，+∞）的單調性并給予證明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵函數 為定義在R上的奇函數．

∴f（0）=0，

即 ，解得

（2）

解：由（1）知 ，則 ，

函數f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞減，給出如下證明：

證法一：任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，

則

= = ）

= ，

∵x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，∴ ，∴ ，

又∵ ， ， ，

∴ ＞0，即f（x2）﹣f（x1）＞0，

∴f（x2）＞f（x1），

∴函數f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞減．

證法二：∵

∴ ，

∵f′（x）＜0恒成立，

故函數f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞減．

【解析】（1）函數 為定義在R上的奇函數．則f（0）=0，解得a的值；（2）證法一：任取x1 ， x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2 ， 作差判斷f（x2）與f（x1）的大小，結合單調性的定義，可得函數f（x）在（﹣∞，+∞）的單調性；
證法二：求導，判斷導函數的符號，進而可得函數f（x）在（﹣∞，+∞）的單調性．
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的判斷方法和函數奇偶性的性質的相關知識點，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．