Question

【題目】(2015福建)如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A,B的點，PO垂直于圓O所在的平面，且PO=OB=1．

（1）若D為線段AC的中點，求證AC平面PDO；
（2）求三棱錐P-ABC體積的最大值；
（3）若BC=，點E在線段PB上，求CE+OE的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

詳見解析；

（2）

;

（3）

;

【解析】解法一：（1）在AOC中，因為OA=OC,D為AC的中點，所以ACOD,又PO垂直于O所在平面，所以POAC。 因為DOPO=0，所以AC平面PDO；
（2）因為點C是圓O上，所以當COAB時，C到AB的距離最大，且最大值為1. 又AB=2，所以ABC的面積的最大值是=1. 又因為三棱錐P-ABC的高PO=1，故三棱錐P-ABC體積的最大值為=
（3）在POB中，PO=OB=1，POB=,所以PB==，同理PC=,所以PB=PC=BC,在三棱錐P-ABC，將側面BCP繞PB旋轉至平面BC'P,使之與平面ABP共面，如圖所示，當O,E,C'共線時，CE+OE取得最小值。又因為OP=OB,C'P=C'B,所以OC'垂直平分BP，即E為BP中點，從而OC'=OE+EC'=+=,亦即CE+OE的最小值為。
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．