Question

【題目】(2015·湖北）一種畫橢圓的工具如圖1所示．是滑槽的中點，短桿ON可繞O轉動，長桿MN通過N處鉸鏈
與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且，．當栓子D在滑槽AB內作往復運動時，帶動N繞轉動，M處的筆尖畫出的橢圓記為C．以O為原點，AB所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標系．
（1）（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（2）（Ⅱ）設動直線與兩定直線和分別交于兩點．若直線總與橢圓有且只有一個公共點，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

（2）

8

【解析】 （Ⅰ）因為,當M,N在x軸上時，等號成立；同理，當重合，即軸時，等號成立，所以橢圓的中心為原點，長半軸長為4，短半軸為2，其方程為。
（Ⅱ）（1）當直線的斜率不存在時，直線為或，都有.
(2)當直線的斜率存在時，設直線,由消去,可得.因為直線總與橢圓有且只有一個公共點，所以,即.又由可得;同理可得.由原點到直線的距離為和,.②將①代入②得，.當時,；當時，.因,則,,所以，當且僅當時取等號。所以時，的最小值為8.
綜合（1）（2）可知，當直線與橢圓在四個頂點處相切時，的面積取得最小值8.