Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣x， ．
（1）求h（x）的最大值；
（2）若關(guān)于x的不等式xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12對一切x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為 ，所以 ，

由h′（x）＞0，且x＞0，得0＜x＜e，由h′（x）＜0，且x＞0，x＞e，

所以函數(shù)h（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，e]，單調(diào)減區(qū)間是[e，+∞），

所以當(dāng)x=e時，h（x）取得最大值 ；

（2）因為xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12對一切x∈（0，+∞）恒成立，

即xlnx﹣x2≥﹣2x2+ax﹣12對一切x∈（0，+∞）恒成立，

亦即 對一切x∈（0，+∞）恒成立，

設(shè) ，因為 ，

故（x）在（0，3]上遞減，在[3，+∞）上遞增，（x）min=（3）=7+ln3，

所以a≤7+ln3．

（3）因為方程f（x）﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，

即lnx﹣x﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，即 恰有一解，

由（1）知，h（x）在x=e時， ，

而函數(shù)k（x）=x2﹣2ex+b+1在（0，e]上單調(diào)遞減，在[e，+∞）上單調(diào)遞增，

故x=e時，k（x）min=b+1﹣e2，

故方程 =x2﹣2ex+b+1恰有一解當(dāng)且僅當(dāng)b+1﹣e2= ，

即b=e2+ ﹣1；

【解析】1、由h′（x）＞0，且x＞0，得0＜x＜e，由h′（x）＜0，且x＞0，x＞e，所以函數(shù)h（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，e]，單調(diào)減區(qū)間是[e，+∞）所以當(dāng)x=e時，h（x）取得最大值 .
2、因為xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12對一切x∈（0，+∞）恒成立，亦即 a ≤ l n x + x + 對一切x∈（0，+∞）恒成立.設(shè) ( x ) = l n x + x + ,求導(dǎo)可得，（x）在（0，3]上遞減，在[3，+∞）上遞增，（x）min=（3）=7+ln3，所以a≤7+ln3．
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的零點是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)．即：方程有實數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點，函數(shù)有零點．