Question

【題目】已知數列的前n項和為,且滿足+n=2(n∈)

(1)證明:數列為等比數列,并求數列的通項公式;

(2)數列滿足(n∈),其前n項和為,試求滿足+>2018的最小正整數n.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)8.

【解析】分析：（1）利用公式an+1=Sn+1﹣Sn即可得出an+1+1=2（an+1），故數列{an+1}為等比數列，利用等比數列的通項公式得出an+1，從而得出an；

（2）化簡bn=n2n﹣n，再使用分項求和和錯位相減法求和得出Tn，進而解出n即可.

詳解：

（1）∵Sn+n=2an，∴Sn+1+（n+1）=2an+1，

∴an+1+1=2an+1﹣2an，即an+1+1=2（an+1），

又a1+1=2a1，∴a1=1．

∴{an+1}是以2為首選，以2為公比的等比數列．

∴an+1=2n，∴an=2n﹣1．

（2）bn=（2n﹣1）log22n=n（2n﹣1）=n2n﹣n．

∴Tn=12+222+323+…+n2n﹣（1+2+3+…+n）

=12+222+323+…+n2n﹣．

設12+222+323+…+n2n=An，

則122+223+324+…+n2n+1=2An，

兩式相減得2+22+23+…+2n﹣n2n+1=﹣An，

∴﹣An=﹣n2n+1=（1﹣n）2n+1﹣2，

∴An=（n﹣1）2n+1+2，

∴Tn=（n﹣1）2n+1+2﹣．

+（n﹣1）2n+1+2>2018

∴n=8