Question

【題目】在平面直角坐標系中，設橢圓的左焦點為，左準線為為橢圓上任意一點，直線，垂足為，直線與交于點．

（1）若，且，直線的方程為．①求橢圓的方程；②是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．

（2）設直線與圓交于兩點，求證：直線均與圓相切．

Answer 1

【答案】（1）①；②不存在；（2）證明見解析.

【解析】

（1）①根據左準線方程求出參數a，從而得出橢圓方程；

②設出，根據點在橢圓上且得出關于的方程組，根據解的情況，得出結果；

（2）設點，，根據,求出，對進行轉化，借助在圓上，進而得出結果.

解：（1）①因為直線的方程為，

所以

因為，

所以，解得或

因為，

所以，，

橢圓方程為.

②設，則，即，

當或時，均不符合題意；

當或時，直線的斜率為，

直線的方程為，

故直線的方程為，

聯立方程組，解得，

所以，

因為，

故，

即或

方程的根為，

因為，故無解；

方程的，故無解，

綜上：不存在點P使.

（2）設，

則，，

因為,

所以，

即，

由題意得，所以，

所以

因為，

所以

因為在圓上，所以，即，

故，

所以，

所以直線與圓相切，

同理可證：與圓相切.