Question

【題目】如圖，在四邊形中，，，，與交于點，若平面，.

（1）求證：；

（2）求二面角的大小；

（3）求異面直線所成的角的大小.

Answer 1

【答案】(1) 證明見解析； (2) ； (3)

【解析】

(1)由條件可得,又有，則平面，從而可證.
(2)建立空間坐標系，分別求出平面和平面的法向量，從而求出答案.
(3) 建立空間坐標系,求出向量的坐標，利用向量的方法求出答案.

(1) 平面,且平面

所以，又，且

所以平面，又平面

所以.

(2)由，平面

以為原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖

在三角形中，，則為正三角形,

因為與交于點，，即

又因為中,,所以邊的中點，

所以

由,,則,

在直角三角形中，,,所以.

, ,

設平面的一個法向量

,，

則 即

取，則
設平面的一個法向量

,

則 即

取，則

由

，

所以二面角的大小為

(3) ,

所以異面直線所成的角的大小為.