Question

【題目】在①離心率，②橢圓過點，③面積的最大值為，這三個條件中任選一個，補充在下面（橫線處）問題中，解決下面兩個問題.

設橢圓的左、右焦點分別為，過且斜率為的直線交橢圓于兩點，已知橢圓的短軸長為，________.

（1）求橢圓的方程；

（2）若線段的中垂線與軸交于點，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）選①，（2）證明見解析

【解析】

（1）選①，根據題意，得到，求解，即可得出結果；

（2）先討論時，求出；再討論時，設直線的方程為，，聯立直線與橢圓方程，根據韋達定理，以及弦長公式等，求出，再求出線段的中垂線方程，得到，求出，進而可求出結果.

（1）選①，由題意可得：，解得

所以所求橢圓的方程為；

（2）（i）當時，

（ii）當時，由題意可得：.

設直線的方程為，設，

由整理得：

顯然，且，

所以

所以線段的中點，

則線段的中垂線方程為，

令，可得，即，又，

所以，

所以，即