Question

已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)F作TF的垂線(xiàn)交橢圓C于點(diǎn)P，Q.
（i）證明：OT平分線(xiàn)段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（ii）當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo).

Answer 1

(1) ；（2）

試題分析：（1）因?yàn)榻咕酁?，所以，又，由此可求出的值，從而求得橢圓的方程.（2）橢圓方程化為.設(shè)PQ的方程為，代入橢圓方程得：.（ⅰ）設(shè)PQ的中點(diǎn)為，求出，只要，即證得OT平分線(xiàn)段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：.
再根據(jù)取等號(hào)的條件，可得T的坐標(biāo).
試題解答：（1），又.
（2）橢圓方程化為.
（ⅰ）設(shè)PQ的方程為，代入橢圓方程得：.
設(shè)PQ的中點(diǎn)為，則
又TF的方程為，則得，
所以，即OT過(guò)PQ的中點(diǎn)，即OT平分線(xiàn)段PQ.
（ⅱ），又，所以
.
當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)T的坐標(biāo)為.
【考點(diǎn)定位】1、橢圓的方程；2、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)；3、最值問(wèn)題.