Question

【題目】如圖所示，在直四棱柱中，，點(diǎn)是棱上一點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）試確定點(diǎn)的位置，使得平面平面.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，平面平面.

【解析】

（1）由題意可知，四邊形是平行四邊形，即，再根據(jù)線面平行的判定定理，證明即可.

（2）在直四棱柱中，平面，從而，由題意可知，根據(jù)線面垂直的判定定理，證明平面，即可.

（3）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接.則是的中點(diǎn).由題意可知，，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可知平面，當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，，平面，即可使得平面平面.

（1）因?yàn)?/span>為直四棱柱.

所以，且.

所以四邊形是平行四邊形，即.

又因?yàn)?/span>平面，平面.

所以平面.

（2）因?yàn)?/span>平面，平面，所以.

又因?yàn)?/span>，且，平面，平面

所以平面.

而平面，所以.

（3）當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，平面平面.如圖，

取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接.

則，即是的中點(diǎn).

因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，，所以.

因?yàn)樵谥彼睦庵?/span>中

所以平面

又因?yàn)?/span>平面

所以平面平面

又平面平面，平面.

所以平面.

當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)

所以，且.

所以是平行四邊形，即.

所以平面.

又因?yàn)?/span>平面

所以平面平面.