Question

【題目】已知，為橢圓上的兩點(diǎn)，滿足，其中，分別為左右焦點(diǎn).

（1）求的最小值；

（2）若，設(shè)直線的斜率為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）.

【解析】

（1）由,當(dāng)位于橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí),即可求解；

（2）先由可得,再由可得是兩個(gè)直角三角形和的公共斜邊,即可得線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,設(shè)直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,可得,,,進(jìn)而利用整理后即可求解.

解:（1）因?yàn)?/span>（為坐標(biāo)原點(diǎn)）,

顯然,

所以的最小值為2.

（2）因?yàn)?/span>,,且,

所以,

又,所以是兩個(gè)直角三角形和的公共斜邊,即得線段的中點(diǎn)到,兩點(diǎn)的距離相等,

因?yàn)?/span>,所以線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,

設(shè)直線的方程為,聯(lián)立橢圓方程,得,

設(shè),,則,

又因?yàn)?/span>,

所以（1）

又,,

因?yàn)?/span>,即,得,

即（2）

由（1）（2）,得,解得.