Question

【題目】如圖，在三棱臺中，分別為的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若平面,，

，求平面與平面所成角（銳角）的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）

【解析】

試題（Ⅰ）思路一：連接，設，連接，先證明，從而由直線與平面平行的判定定理得平面；思路二：先證明平面平面，再由平面與平面平行的定義得到平面.

（Ⅱ）思路一：連接，設，連接，證明兩兩垂直, 以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空量向量的夾角公式求解；思路二：作于點，作于點，連接，證明即為所求的角，然后在三角形中求解.

試題解析：

（Ⅰ）證法一：連接，設，連接，

在三棱臺中，

為的中點

可得

所以四邊形為平行四邊形

則為的中點

又為的中點

所以

又平面平面

所以平面．

證法二：

在三棱臺中，

由為的中點

可得

所以四邊形為平行四邊形

可得

在中，為的中點，為的中點，

所以

又，所以平面平面

因為平面

所以平面

（Ⅱ）解法一：

設，則

在三棱臺中，

為的中點

由，

可得四邊形為平行四邊形，

因此

又平面

所以平面

在中，由，是中點，

所以

因此兩兩垂直,

以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系

所以

可得

故

設是平面的一個法向量，則

由可得

可得平面的一個法向量

因為是平面的一個法向量，

所以

所以平面與平面所成的解（銳角）的大小為

解法二：

作于點，作于點，連接

由平面，得

又

所以平面

因此

所以即為所求的角

在中,

由∽

可得

從而

由平面平面

得

因此

所以

所以平面與平面所成角（銳角）的大小為.