Question

【題目】已知雙曲線的離心率為，且焦點到漸近線的距離為．

（1）求雙曲線的標準方程；

（2）若以為斜率的直線與雙曲線相交于兩個不同的點，，且線段的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

(1)由焦點到漸近線的距離可求出,再由離心率求出,從而得到雙曲線方程;

(2)設直線的方程為,聯立可知,利用韋達定理和中點坐標公式求出線段的垂直平分線方程,再利用題設面積可求出,結合即可求出實數的取值范圍.

(1)焦點到漸近線的距離為,

又,∴,∴,

∴雙曲線的標準方程為.

(2)設直線的方程為,,,

則由消去,可得,

根據題意可知,且,

即①,

設線段的中點坐標為,

則,,

∴線段的垂直平分線方程為,

此直線與軸,軸的交點坐標分別為,,

∴,化簡可得②,

將②代入①得,

即,解得或,

∴實數的取值范圍是.