Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，垂直于底面，.

（1）求證；　

（2）求平面與平面所成二面角的大小；

（3）設棱的中點為，求異面直線與所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）；（3）

【解析】

（1）先證面，從而得到；

（2）由（1）中的線面垂直，可知所求二面角的平面角為，利用為等腰直角三角形，可求的大小；

（3）取中點，連接，從而或其補角是異面直線與所成角，分別計算的長度后可得，從而得到：.

解：（1）證明：底面是正方形，，

底面，底面，

，

又，面，

面，

；

（2）由（1）知，又，

為所求二面角的平面角，

在中，由可知，是等腰直角三角形，

，

即平面與平面所成二面角為；

（3）取中點，連接，

在中，由中位線定理得，

或其補角是異面直線與所成角，

，，

又，

，

在中，有，

，即異面直線與所成角為.