Question

【題目】已知數列{an}滿足a1=2，an+1=2（Sn+n+1）（n∈N*），令bn=an+1．

（1）求數列{bn}的通項公式；

（2）證明：．

Answer 1

【答案】（1）bn=3n；（2）見證明

【解析】

（1）運用數列的遞推式和等比數列的通項公式，可得所求；

（2）由an+1=3n，可得＜=，再由裂項相消求和，結合不等式的性質可得證明．

（1）由題意，可知a1=2，an+1=2（Sn+n+1）①

n=1時，a2=2×（2+1+1）=8，

n≥2時，an=2（Sn-1+n）②

①②相減整理可得an+1=3an+2，

可得an+1+1=3（an+1），n=1時，上式也成立，即有bn+1=3bn，

所以數列的通項公式為bn=b13n-1=3n；

（2）由an+1=3n，可得=

即有

=，