Question

【題目】已知等差數(shù)列的公差大于0，且，是方程的兩根，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.

（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法給予證明．

Answer 1

【答案】（1），；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)韋達(dá)定理可構(gòu)造方程組求得和，從而得到公差和，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得；利用可證得為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得；（2）通過(guò)列舉的結(jié)果可猜想當(dāng)時(shí)，；根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟，依次證明時(shí)成立，在成立的前提下時(shí)也成立，從而使問(wèn)題得以解決.

（1）由韋達(dá)定理可得

因?yàn)?/span>的公差大于，所以，所以，

，又

可得：

因?yàn)?/span>，所以

當(dāng)時(shí)，

所以，化簡(jiǎn)得

所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即

所以，

（2）因?yàn)?/span>，所以，

下面比較與的大小：

當(dāng)時(shí)，，，所以；

當(dāng)時(shí)，，，所以；

當(dāng)時(shí)，，，所以；

當(dāng)時(shí)，，，所以.

猜想：當(dāng)時(shí)，

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時(shí)，，，所以成立；

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，，即

那么，當(dāng)時(shí)，

所以當(dāng)時(shí)，也成立．

由①②可知，對(duì)任何，，都有成立

綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，