Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；

（3）證明.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的遞增區(qū)間為，函數(shù)的遞減區(qū)間為；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）先求導數(shù)，再確定導函數(shù)在定義區(qū)間上零點情況：當k≤0時，導函數(shù)恒大于零，為增函數(shù)；當k＞0時，由一個零點x=，先減后增（2）不等式恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化Wie對應函數(shù)最值問題，即，結合（1）的單調(diào)性情況，可得k＞0且f（）=ln≤0解得k≥1，（3）利用導數(shù)證明不等式，一般方法為構造恰當函數(shù)，利用其增減性進行證明：因為k=1時，f（x）≤0恒成立，即ln（x﹣1）＜x﹣2，令，則，代入疊加得證

試題解析：（I）∵f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，（x＞1）

∴f′（x）=﹣k，

當k≤0時，f′（x）＞0恒成立，故函數(shù)在（1，+∞）為增函數(shù)，

當k＞0時，令f′（x）=0，得x=

當f′（x）＜0，即1＜x＜時，函數(shù)為減函數(shù)，

當f′（x）＞0，即x＞時，函數(shù)為增函數(shù)，

綜上所述，當k≤0時，函數(shù)f（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，

當k＞0時，函數(shù)f（x）在（1，）為減函數(shù)，在（，+∞）為增函數(shù)．

（Ⅱ）由（1）知，當k≤0時，f′（x）＞0函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，f（x）≤0不恒成立，

當k＞0時，函數(shù)f（x）在（1，）為減函數(shù)，在（，+∞）為增函數(shù)．

當x=時，f（x）取最大值，f（）=ln≤0

∴k≥1，即實數(shù)k的取值范圍為[1，+∞）

（Ⅲ）由（2）知k=1時，f（x）≤0恒成立，即ln（x﹣1）＜x﹣2

∴＜1﹣，

∵==＜=

取x=3，4，5…n，n+1累加得

∴+…+＜+++…+=，（n∈N，n＞1）．