Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側面是等邊三角形，且平面平面，為的中點，,，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）直線上是否存在點，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）（Ⅲ）存在點， ．

【解析】

（Ⅰ）取中點，結合三角形中位線和長度關系，可證得且，得到四邊形為平行四邊形，進而得到，根據線面平行判定定理可證得結論；

（Ⅱ）取中點，由面面垂直性質可知平面，由此可建立空間直角坐標系；分別求得兩面的法向量，求得法向量夾角的余弦值；根據二面角為銳角確定最終二面角的余弦值；

（Ⅲ）設，利用空間向量表示出，由線面平行可知與平面的法向量垂直，即，構造方程求得，從而得到結論.

（Ⅰ）取中點，連結

為中點， ，

又， 且

四邊形為平行四邊形

平面,平面

平面

（Ⅱ）取中點，連結，

為等邊三角形

平面平面，平面平面 平面

， 四邊形為平行四邊形

如圖建立空間直角坐標系，

則

，

設平面的一個法向量為

則，即，令，則，

顯然，平面的一個法向量為，

所以.

二面角為銳角 二面角的余弦值為

（Ⅲ）直線上存在點，使得平面.理由如下：

設 ，

，

平面 平面時，

即，解得：

直線上存在點，使得平面，此時