Question

【題目】已知函數在處取得極值．

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）求證：對于區間上任意兩個自變量的值，都有；

（Ⅲ）若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）見解析

（Ⅲ）所求的實數a的取值范圍是

【解析】

（Ⅰ），依題意，，

即，解得

經檢驗符合．

（Ⅱ）

當時，，故在區間上為減函數，

∵對于區間上任意兩個自變量的值，

都有

（Ⅲ），

∵曲線方程為，∴點不在曲線上，

設切點為M(x0,y0)，則點M的坐標滿足．

因，故切線的斜率為，

整理得．

∵過點A(1,m)可作曲線的三條切線，

∴關于的方程有三個實根．

設，則，

由，得或

在上單調遞增，在（0,1）上單調遞減．

∴函數的極值點為，

∴關于方程有三個實根的充要條件是

，解得

故所求的實數a的取值范圍是

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