Question

【題目】如圖，已知拋物線 ，直線與拋物線相交于兩點，且當傾斜角為的直線經過拋物線的焦點時，有.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知圓，是否存在傾斜角不為的直線，使得線段被圓截成三等分？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（I）聯立方程組，利用根與系數的關系和拋物線的性質列方程解出p；
（II）設直線l方程為，與拋物線方程聯立，求出AB的中點坐標，利用垂徑定理列方程得出m，b的關系，利用弦長公式計算|AB|，|CD|，根據|AB|=3|CD|列方程求出m得出直線l的方程．

試題解析：

（1）當傾斜角為的直線經過拋物線的焦點時，直線的方程為，

∵聯立方程組，即，

∴，即，∴拋物線的方程是；

（2）假設存在直線，使得線段被圓截成三等分，令直線交圓為，設直線的方程為， ，由題意知：線段與線段的中點重合且有，聯立方程組，即，

∴， ， ，

∴線段中點的坐標為，即線段的中點為，

∴，即，

又∵，

，

∴，即，∴， ，

故直線的方程為.