Question

【題目】已知函數

（1）若函數在上單調遞減，在上單調遞增，求實數的值；

（2）是否存在實數，使得在上單調遞減，若存在，試求的取值范圍；若不存在，請說明理由；

（3）若，當時不等式有解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）求導函數，根據函數f（x）在（-，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，可得x=1是方程f′（x）=0的根，從而可求實數a的值；（2）由題意得：f′（x）=3x2+2ax-2≤0在（-2， ）上恒成立，由此可實數a的取值范圍；（3）求導函數，求導函數x∈（-1，2）時，f（x）的最小值，欲使不等式f（x）＜m有解，只需m≥[f（x）]min，從而可求實數m的取值范圍．

試題解析：

（1），

∵在上單調遞減，在上單調遞增，

∴是方程的根，解得

（2）由題意得： 在上恒成立，

∴ ∴

（3）當時， ，

由得：

列表：

∴時， 的最小值為，此時，

欲使有解，只需，∴.