Question

【題目】已知直線過坐標原點，圓的方程為．

（1）當直線的斜率為時，求與圓相交所得的弦長；

（2）設直線與圓交于兩點，且為的中點，求直線的方程．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 直線l的方程為y=x或y=﹣x.

【解析】試題分析：(1) 由已知，直線的方程為，圓圓心為，半徑為，求出圓心到直線的距離，根據勾股定理可求與圓相交所得的弦長；（2）設直線與圓交于兩點，且為的中點，設 ，則 ，將點的坐標代入橢圓方程求出的坐標，即可求直線的方程.

試題解析：（1）由已知，直線l的方程為y=x，圓C圓心為（0，3），半徑為，

所以，圓心到直線l的距離為=．…

所以，所求弦長為2=2．

（2） 設A（x1，y1），因為A為OB的中點，則B（2x1，2y1）．

又A，B在圓C上，

所以 x12+y12﹣6y1+4=0，4x12+4y12﹣12y1+4=0．

解得y1=1，x1=±1，

即A（1，1）或A（﹣1，1）

所以，直線l的方程為y=x或y=﹣x．