Question

【題目】對于區(qū)間，若函數(shù)同時滿足：①在上是單調(diào)函數(shù)；②函數(shù)，的值域是，則稱區(qū)間為函數(shù)的“保值”區(qū)間.

（1）求函數(shù)的所有“保值”區(qū)間.

（2）函數(shù)是否存在“保值”區(qū)間？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)的取值范圍是.

【解析】分析：（1）由已知中“保值”區(qū)間的定義，結(jié)合函數(shù)的值域是，我們可得 ，從而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故有，結(jié)合 即可得到函數(shù)函數(shù)的“保值”區(qū)間；（2）由已知中“保值”區(qū)間的定義，我們分函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，和函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，兩種情況分類討論，分別將用或表示，利用二次函數(shù)配方法可得到結(jié)論.

詳解：（1）因為函數(shù)的值域是，且在的最后綜合討論結(jié)果，即可得到值域是，

所以，所以，從而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

故有，解得.

又，所以.

所以函數(shù)的“保值”區(qū)間為.

（2）若函數(shù)存在“保值”區(qū)間，則有：

①若，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以，消去得，整理得.

因為，所以，即.

又，所以.

因為 ，

所以.

②若，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，消去得，整理得.

因為，所以，即.

又，所以.

因為 ，

所以.

綜合①、②得，函數(shù)存在“保值”區(qū)間，此時的取值范圍是.