Question

【題目】已知向量，函數的最小值為.

（1）當時，求的值；

（2）求；

（3）已知函數為定義在上的增函數，且對任意的都滿足，問：是否存在這樣的實數，使不等式對所有恒成立，若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)；(3).

【解析】分析：（1）數的最小值為.利用向量的乘積運算求出的解析式，求出最小值可得，當時，可得的值；
（2）根據對稱軸，討論參數的范圍分段表示求；
（3）假設存在符合條件的實數，則依題意有，對所有θ恒成立．設，則，利用三角函數的有界限轉化為勾勾函數的求最值問題，利用不等式的性質即可求出的取值范圍．

詳解：

（1）設，則

當時，在為減函數，

所以時取最小值.

（2），，其對稱軸為，

當，即時，；

當，即時，；

綜上，

（3）假設存在符合條件的實數，則依題意有，

對所有恒成立.

設，則，

∴，恒成立

即，恒成立，

∵，

∴

∴，恒成立

令

由在上單調遞增

則

∴

所以存在符合條件的實數，并且的取值范圍為..