Question

【題目】經過原點的直線與橢圓交于兩點，點為橢圓上不同于的一點，直線的斜率均存在，且直線的斜率之積為.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設分別為橢圓的左、右焦點，斜率為的直線經過橢圓的右焦點，且與橢圓交于兩點.若點在以為直徑的圓內部，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】試題分析: (1)先利用點差法由直線的斜率之積為 得之間關系,再解出離心率,(2)點在以為直徑的圓內部，等價于，而可轉化為兩點橫坐標和與積的關系. 將直線方程與橢圓方程聯立方程組，消去得關于的一元二次方程，利用韋達定理得兩點橫坐標和與積關于的關系式，代入，解不等式可得的取值范圍.

試題解析:

（1）設則，∵點三點均在橢圓上，

∴， ，

∴ 作差得，

∴，

∴.

（2）設，直線的方程為，記，

∵，∴，

聯立得， ，

∴，

當點在以為直徑的圓內部時， ，

∴，

得，

解得.