Question

【題目】本小題滿分13分）

工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務，每次只派一個人進去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果有一個人10分鐘內不能完成任務則撤出，再派下一個人．現在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務的概率分別，假設互不相等，且假定各人能否完成任務的事件相互獨立.

（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務能被完成的概率．若改變三個人被派出的先后順序，任務能被完成的概率是否發生變化？

（2）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務的概率依次為，其中是的一個排列，求所需派出人員數目的分布列和均值（數字期望）；

（3）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數目的均值（數字期望）達到最小．

Answer 1

【答案】（1） 不變化；（2）；（3）先派甲,再派乙,最后派丙時, 均值（數字期望）達到最小

【解析】

（1）按甲在先,乙次之,丙最后的順序派人,任務能被完成的概率為．

若甲在先,丙次之,乙最后的順序派人,任務能被完成的概率為，

發現任務能完成的概率是一樣.

同理可以驗證，不論如何改變三個人被派出的先后順序，任務能被完成的概率不發生變化.

（2）由題意得可能取值為

∴，

∴其分布列為:

．

（3）,

∴要使所需派出的人員數目的均值（數字期望）達到最小,

則只能先派甲、乙中的一人.

∴若先派甲,再派乙,最后派丙,則；

若先派乙,再派甲,最后派丙, 則，

，

∴先派甲,再派乙,最后派丙時, 均值（數字期望）達到最小．