Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的單調區間和極值；

（2）若不等式恒成立，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1.

【解析】

（1）a＝1時，f（x）＝，f′（x）＝，令f′（x）＝＝0，解得x＝e.通過列表可得函數f（x）的單調遞區間及其極值.（2）由題意可得：x＞0，由不等式恒成立，即x﹣1﹣alnx≥0恒成立.令g（x）＝x﹣1﹣alnx≥0，g（1）＝0，x∈（0，+∞）.g′（x）＝1﹣＝.對a分類討論，利用導數研究函數的單調性極值與最值即可得出.

（1）a＝1時，f（x）＝，f′（x）＝，

令f′（x）＝＝0，解得x＝e.

x	（0，e）	e	（e，+∞）
f′（x）	+	0	﹣
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減

可得函數f（x）的單調遞增區間為（0，e），單調遞減區間為（e，+∞），可得極大值為f（e）＝，為極小值.

（2）由題意可得：x＞0，由不等式恒成立，即x﹣1﹣alnx≥0恒成立.

令g（x）＝x﹣1﹣alnx≥0，g（1）＝0，x∈（0，+∞）.

g′（x）＝1﹣＝.

①若a＜0，則函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增，又g（1）＝0，∴x∈（0，1）時，g（x）＜0，不符合題意，舍去.

②若0＜a＜1，則函數g（x）在（a，+∞）上g′（x）＞0，即函數g（x）單調遞增，又g（1）＝0，∴x∈（a，1）時，g（x）＜0，不符合題意，舍去.

③若a＝1，則函數g（x）在（1，+∞）上g′（x）＞0，即函數g（x）單調遞增，x∈（a，1）時，g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減.

∴x＝1時，函數g（x）取得極小值即最小值，又g（1）＝0，∴x＞0時，g（x）≥0恒成立.

③若1＜a，則函數g（x）在（0，a）上g′（x）＜0，即函數g（x）單調遞減，又g（1）＝0，∴x∈（1，a）時，g（x）＜0，不符合題意，舍去.

綜上可得：a＝1.