Question

設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，證明：．

Answer 1

不等式的證明一般可以考慮運(yùn)用作差法或者是利用分析法來(lái)證明。

試題分析：為使所證式有意義，三數(shù)中至多有一個(gè)為0；據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，則；
、當(dāng)時(shí)，條件式成為，，，而
，
只要證，，即，也即，此為顯然；取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)．
、再證，對(duì)所有滿足的非負(fù)實(shí)數(shù)，皆有
．顯然，三數(shù)中至多有一個(gè)為0，據(jù)對(duì)稱性，
仍設(shè)，則，令，為銳角，以為內(nèi)角，構(gòu)作，則，于是，且由知，；于是，即是一個(gè)非鈍角三角形．
下面采用調(diào)整法，對(duì)于任一個(gè)以為最大角的非鈍角三角形，固定最大角，將調(diào)整為以為頂角的等腰，其中，且設(shè)，記，據(jù)知，
．今證明，．即
……①．
即要證   ……②
先證  ……③，即證 ，
即 ，此即 ，也即
，即 ，此為顯然．
由于在中，，則；而在中，
，因此②式成為
 ……④，
只要證， ……⑤，即證 ，注意③式以及
，只要證，即，也即…⑥
由于最大角滿足：，而，則，所以
，故⑥成立，因此⑤得證，由③及⑤得④成立，從而①成立，即，因此本題得證．
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了不等式的證明，方法比較多，一般是分析法和作差法構(gòu)造函數(shù)法，屬于難度題。