Question

【題目】已知函數（e為自然對數的底數）

（1）求的最小值；

（2）若對于任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的最小值為1；（2）實數的取值范圍是.

【解析】

試題（1）先對求導，得出函數的單調區間，即可求出函數的最小值為1；

（2）不等式恒成立，變形為，構造新函數；求得的最小值，

從而實數的取值范圍是．

試題解析：（1）的導函數，令，解得；

令，解得.

從而在內單調遞減，在內單調遞增.

所以，當時，取得最小值1. 6分

（2）因為不等式的解集為，且，

所以對于任意，不等式恒成立.

由，得.

當時，上述不等式顯然成立，故只需考慮的情況.

將變形為.

令，則的導函數，

令，解得；令，解得.

從而在內單調遞減，在內單調遞增.

所以，當時，取得最小值，

從而實數的取值范圍是. 13分