Question

【題目】已知橢圓 的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是,以為圓心、3為半徑的圓與以為圓心、1為半徑的圓相交，交點(diǎn)在橢圓C上．

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓C的右頂點(diǎn)直線AM與直線BM分別與y軸交于點(diǎn)PQ，試問(wèn)以線段PQ為直徑的圓是否過(guò)x軸上的定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）由題意可得，又離心率 ，可求，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，消元得一元二次方程，求出，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，

以線段PQ為直徑的圓過(guò)x軸上的定點(diǎn) ，則等價(jià)于恒成立，利用向量運(yùn)算即可求出.

（1）由題意知，則．又，可得，

橢圓的方程為。

（2）以線段PQ為直徑的圓過(guò)x軸上的定點(diǎn)．

由 得．

設(shè) ，則有

又點(diǎn)M是橢圓C的右頂點(diǎn)，所以點(diǎn) ．

由題意可知直線AM的方程為，故點(diǎn) ．

直線BM的方程為，故點(diǎn)．

若以線段PQ為直徑的圓過(guò)x軸上的定點(diǎn) ，則等價(jià)于恒成立．

又因?yàn)?/span>，

恒成立．

又因?yàn)?/span> ，

所以 ．解得．

故以線段PQ為直徑的圓過(guò)x軸上的定點(diǎn)。