Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求的單調區間；

（2）當時，記的最小值為，求的解析式.

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間為和，單調遞減區間為；（2）.

【解析】

（1）當時，求出函數的解析式、定義域和導數，分別解不等式和，可得出函數的單調遞增區間和遞減區間；

（2）求得，然后分、和三種情況討論，分析函數在區間上的單調性，進而可得出函數在區間上的最大值，由此可得出的解析式.

（1）當時，，定義域為，

.

令，得或；令，得.

所以，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；

（2），，

令，得或.

①當時，對任意的，，

此時，函數在區間上單調遞增，則；

②當時，若，則；若，則.

所以，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.

所以，；

③當時，對任意的，.

此時，函數在區間上單調遞減，則.

綜上所述，.