Question

【題目】已知橢圓C： 的離心率為 ，右焦點為F，點B（0，1）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點 的直線交橢圓C于M，N兩點，交直線x=2于點P，設 ， ，求證：λ+μ為定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由點B（0，1）在橢圓C： 上，則 ，即b=1．
又橢圓C的離心率為 ，則 ，
由a2=b2+c2 ， 得 ．
∴橢圓C的方程為
（Ⅱ）證明：由已知得F（1，0），直線MN的斜率存在．
設直線MN的方程為y=k（x﹣1），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），則P（2，k）．
由 ， ，得 ，
∴ ，．
聯立 得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．
∴ ， ．
∴ = =0，
∴λ+μ=0為定值
【解析】（Ⅰ）由題意b=1，利用橢圓的離心率即可求得a的值，求得橢圓方程；（Ⅱ）設直線MN的方程為y=k（x﹣1），代入橢圓方程，利用韋達定理及向量的坐標運算，即可證明λ+μ=0為定值．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．