Question

【題目】圖1是直角梯形，，，，，，.以為折痕將折起，使點到達的位置，且，如圖2.

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）做輔助線，先根據線線垂直證明面，進而可證平面平面；

（2）建立平面直角坐標系，求出平面的法向量，利用法向量法可求直線與平面所成角的正弦值.

（1）證明：在圖1中，連結，由已知得

∵且，

∴四邊形為菱形，

連結交于點，

∴，

又∵在中，，

∴，

在圖2中，，

∵，∴，

由題意知，

∴面，又平面，

∴平面平面；

（2）如圖，以為坐標原點，，分別為軸，方向為軸正方向建立空間直角坐標系.由已知得各點坐標為

，

所以，，，

設平面的法向量為，則，

所以，即，令，解得，

所以，

所以，

記直線與平面所成角為，

則.