Question

【題目】一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機抽取50個作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），重量分組區間為[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖（如圖），

（1）求a的值，并根據樣本數據，試估計盒子中小球重量的眾數與平均值；
（2）從盒子中隨機抽取3個小球，其中重量在[5，15]內的小球個數為X，求X的分布列和數學期望．（以直方圖中的頻率作為概率）

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1

解得a=0.03；

又由最高矩形中點的橫坐標為20，

可估計盒子中小球重量的眾數約為20，

而50個樣本小球重量的平均值為：

=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）

故估計盒子中小球重量的平均值約為24.6克

（2）解：利用樣本估計總體，該盒子中小球的重量在[5，15]內的0.2；

則X～B（3， ），

X=0，1，2，3；

P（X=0）= ×（ ）3= ；

P（X=1）= ×（ ）2× = ；

P（X=2）= ×（ ）×（ ）2= ；

P（X=3）= ×（ ）3= ，

∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P

即E（X）=0× =

【解析】（1）求解得a=0.03，由最高矩形中點的橫坐標為20，可估計盒子中小球重量的眾數約為20根據平均數值公式求解即可．（2）X～B（3， ），根據二項分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）= ，P（X=3），列出分布列，求解數學期望即可．