Question

【題目】如圖，已知直線l與拋物線y2=2x相交于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）兩點，與x軸相交于點M，若y1y2=﹣4，

（1）求：M點的坐標；
（2）求證：OA⊥OB；
（3）求△AOB的面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設M點的坐標為（t，0），直線l方程為x=my+t，

代入y2=2x得y2﹣2my﹣2t=0，①

y1、y2是此方程的兩根，

∴y1y2=﹣2t=﹣4，∴t=2，即M點的坐標為（2，0）

（2）證明：∵y1y2=﹣4，

∴x1x2+y1y2= y12y22+y1y2=0，

∴OA⊥OB；

（3）解：由方程①，y1+y2=2m，y1y2=﹣4，且|OM|=t=2，

于是S△AOB= |OM||y1﹣y2|= = ≥2，

∴當m=0時，△AOB的面積取最小值2

【解析】（1）設M點的坐標為（t，0），直線l方程為x=my+t，代入y2=x得y2﹣2my﹣2t=0，利用韋達定理可證得M點的坐標為（2，0）．（2）根據y1y2=﹣4結合向量的坐標運算得出OA⊥OB．（3）S△AOB= |OM||y1﹣y2|= = ≥2．由此能求出結果．