Question

【題目】定義在R上的函數y=f（x），滿足f（1﹣x）=f（x），（x﹣ ）f′（x）＞0，若x1＜x2且x1+x2＞1，則有（ ）
A.f（x1）＜f（x2）
B.f（x1）＞f（x2）
C.f（x1）=f（x2）
D.不能確定

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵定義在R上的函數y=f（x），滿足f（1﹣x）=f（x），∴函數f（x）關于直線x= 對稱．
∵（x﹣ ）f′（x）＞0，∴當x 時，f′（x）＞0，函數f（x）在此區間上單調遞增；當x 時，f′（x）＜0，函數f（x）在此區間上單調遞減．
①若 ，∵函數f（x）在區間 上單調遞增，∴f（x2）＞f（x1）．
②若 ，又x1+x2＞1，∴ ，∴f（x2）＞f（1﹣x1）=f（x1）．
綜上可知：f（x2）＞f（x1）．
故選A．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數單調性的性質和利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．